Cinématique (2)

[modifier ( modifier-370-section-3.cours)]Repérage angulaire du mobile

Nous emploierons exclusivement le radian comme unité d'angle. En effet, les lignes trigonométriques sont définies sans ambiguïté comme des fonctions, et (par exemple), on a , ce qui veut dire que la fonction , au nombre , fait correspondre le nombre 1. La fonction sinus est unique, elle est définie ainsi.
Lorsque dans la pratique, on écrit , cela ne peut pas vouloir dire que la fonction sinus, au nombre 90, fait correspondre le nombre 1, mais qu'une fonction associée, que j'appellerai , à tout nombre (angle exprimé en degrés), fait correspondre le nombre .
Il est bien plus simple de s'en tenir aux angles en radians, parce que nous avons besoin de la définition "de base", "mathématique", des fonctions , et de leurs dérivées, limites, etc., nécessaires pour calculer vitesses et accélérations, et résoudre les questions qui se posent.
On rappelle que, si l'on considère un cercle de centre et de rayon , et deux points de ce cercle, alors =1 radian si l'arc a une longueur .
Or le périmètre du cercle est , et correspond à un angle de 360°.
Les angles étant proportionnels aux longueurs d'arc, un angle de 360° vaut donc radians.
On peut écrire :
radians = 180° ; radians = 90° ; radians = 60° ; radians = 45° ; radians = 30°
etc.
Il est clair que, exprimé en radians, l'angle vaut
Considérons un mobile sur une trajectoire circulaire de rayon .
Choisissons une origine, un point de ce cercle.
On définit une abscisse curviligne en choissant un sens de parcours sur le cercle, et en posant pour un point , abscisse curviligne de = selon que le parcours de vers se soit fait dans le sens positif ou non.
La relation entre l'abscisse curviligne et l'angle (en comptant 0 pour l'angle repérant le point ) est
.
Si l'on se donne un repère orthonormal de centre , centre du cercle, alors les coordonnées du mobile s'expriment par

[modifier ( modifier-370-section-4.cours)]Vecteur vitesse et vitesse angulaire

Le vecteur vitesse est toujours défini par

Et ici, cela donne, en supposant dérivable :

Introduisons un nouveau repère (orthonormal lui aussi), tournant avec , appelé "repère mobile" :

avec

et

On remarquera la chose importante :

On a donc, pour tout mouvement circulaire :

(On remarquera que le vecteur vitesse est - comme toujours - tangent à la trajectoire, puisque défini comme rapport d'un déplacement infinitésimal sur le laps de temps infinitésimal correspondant )
La norme de la vitesse est
Mieux, on peut définir une vitesse algébrique, en tenant compte du sens donné en définissant l'abscisse curviligne  :
, qui sera positive si le mobile parcourt le cercle dans le sens défini positif des angles, négatif sinon.
Et comme , on aura donc :

et bien sûr
(attention, ne pas confondre qui est un nombre réel positif ou négatif, avec ).

[modifier ( modifier-370-section-5.cours)]Vecteur accélération

On définit toujours l'accélération par

Or en dérivant le vecteur vitesse , il vient

et en dérivant

on obtient

Finalement, on a pour le vecteur accélération :


Si l'on considère le vecteur accélération au point où se trouve le mobile à l'instant considéré, ce vecteur accélération peut être considéré comme la somme de deux vecteurs orthogonaux entre eux :
, tangent à la trajectoire au point , appelé vecteur accélération tangentielle.
, normal à la trajectoire et toujours dirigé vers le centre de celle-ci (c'est ce qu'on appelle une accélération centripète), appelé accélération normale:

Ces deux vecteurs, accélération tangentielle et accélération normale, peuvent être exprimés autrement, d'une manière plus pratique.
En effet, nous avons vu que

, rappelons-le, est la mesure algébrique sur la trajectoire orientée, et
Si l'on dérive (qui varie aussi selon le mouvement considéré) par rapport au temps, on obtient () :

ou encore

Avec cela, il apparaît aisément que

et

On raisonne souvent avec la mesure algébrique de l'accélération tangentielle, que l'on appelle
et la norme de l'accélération normale (toujours dirigée, du reste, vers le centre de la trajectoire circulaire), que l'on appelle

[modifier ( modifier-370-section-8.cours)]Exemple

Considérons le mouvement hélicoïdal défini par ses équations horaires

Sa vitesse est donnée par

Ici le vecteur unitaire est défini par

(ce qu'on peut écrire sans ambiguïté, parce que le mobile "tourne" toujours dans le même sens autour de l'axe ), et

Ecrivons l'accélération :

C'est une accélération "centripète", bien qu'il n'y ait pas de centre fixe vers lequel pointe ce vecteur accélération. En fait, il pointe vers l'axe et est orthogonal à cet axe. On a

et bien sûr, , où est le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant  : et , puisque

et

d'où, ici

C'est "assez" intuitif, car si l'on imagine que la vitesse angulaire est assez petite, et la vitesse "ascensionnelle" très grande, la trajectoire se rapprocherait de la ligne droite
()