Principe fondamental de la Dynamique

[modifier ( modifier-516-section-2.cours)]Définition en Dynamique

Une force est une grandeur vectorielle (tri-dimensionnelle) , cause de deux sortes d'effets observables dans un référentiel donné :

• déformation d'un objet (par exemple, étirer ou comprimer un ressort, plier une lame)
• accélérer un objet (soit le mettre en mouvement s'il était au repos dans le référentiel considéré, soit faire varier son vecteur vitesse au cours du temps)

La première sorte d'effets intéresse la Statique (étude de l'équilibre d'un corps ou d'un système mécanique).
Ici en Dynamique, nous nous intéresserons au mouvement d'un objet et à son accélération, variation au cours du temps de son état de mouvement dans le référentiel considéré.

La définition dynamique de la force est, très simplement et de façon purement phénoménologique, la variation par seconde de l'impulsion (ou quantité de mouvement) de l'objet qui subit cette force :

( en Newton (N))

On rappelle que pour un objet ponctuel, l'impulsion est définie par

( = masse en kg ; = vitesse en ; en )

Autrement dit, si j'applique une force constante de 1 Newton sur un objet de masse 1 kg, cet objet voit sa vitesse varier de 1 m/s chaque seconde. Si j'applique une force constante de 1 N sur un objet de 1 kg, initialement au repos, pendant 30 s, au bout de ce temps, il acquiert une vitesse de 30 m/s, soit 108 km/h.
(en effet,
)

En nous appuyant sur le puissant formalisme du calcul différentiel et intégral, nous définirons en toute généralité (en Dynamique) la force par

C'est donc la dérivée par rapport au temps du vecteur impulsion.

Comme la masse est une constante (caractéristique de l'objet subissant la force), on peut aussi écrire

où

est l'accélération (à l'instant donné) du corps ponctuel subissant la force, mesurée dans le référentiel considéré.

[modifier ( modifier-516-section-4.cours)]Référentiel galiléen ou d'inertie

On définit les référentiels galiléens ou ''d'inertie"" comme les référentiels dans lesquels, en l'absence de force subie, tout corps ponctuel a un mouvement rectiligne uniforme (en particulier, l'état de repos dans le référentiel considéré).

On admettra que le référentiel du laboratoire, lié au sol à la surface de la Terre, est très proche d'un référentiel galiléen, et peut être considéré avec une bonne précision comme galiléen.

Le principe fondamental de la Dynamique est issu de l'expérience, c'est une formalisation des expériences et de l'observation des systèmes physiques et de leurs mouvements.

[modifier ( modifier-516-section-5.cours)]Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique pour un corps ponctuel

Dans un référentiel galiléen, tout corps ponctuel soumis à une ou plusieurs forces, la somme (ou résultante) de ces forces étant , voit son impulsion varier de par unité de temps :

Si le corps considéré n'était soumis à aucune force, ou à plusieurs forces de somme nulle, son impulsion serait constante, et le corps serait animé dans ce référentiel galiléen d'un mouvement rectiligne uniforme.

Exemples simples

1. Chute libre dans le champ de pesanteur terrestre (au voisinage du sol)

Un objet de masse est lâché à l'instant à vitesse nulle dans le référentiel du laboratoire.

On sait que l'objet est soumis à son poids , proportionnel à sa masse et au vecteur champ de pesanteur , que l'on peut assimiler au champ de gravitation terrestre au point considéré (nous verrons que cela revient à considérer le référentiel du sol (ou du laboratoire) comme galiléen, approximation bien commode) :
()

Une fois lâché, cet objet n'est plus soumis qu'à son poids, si l'on peut négliser le frottement de l'air (effet aérodynamique) ; le principe fondamental de la dynamique donne
, soit
Donc l'accélération du corps en chute libre est constant et égal au vecteur champ de pesanteur.
On suppose généralement que dans un volume d'espace limité (par exemple, si je lâchais mon objet du 2e étage, l'espace entre le 2e étage et le sol), on peut considérer comme constant.

On peut donc écrire, selon les axes x, y, et z :

(on a dirigé l'axe des z vers le haut, alors que est dirigé vers le bas)

En intégrant, on obtient les composantes du vecteur vitesse  :

Or à t=0, le corps était au repos, c'est-à-dire à vitesse nulle dans le référentiel. Donc les trois constantes sont nulles, et

Intégrons encore, ce qui nous donne les coordonnées de la position du mobile :

Si l'on pose que la position était le point origine à l'instant t = 0, cela donne

C'est le fameux mouvement accéléré étudié par Galilée lui-même du haut de la Tour de Pise...

2. Projectile lancé dans le champ de pesanteur terrestre (mais pas à des vitesses très grandes, et avec des trajectoires n'excédant pas quelques kilomètres d'étendue)

On suppose qu'on lance un projectile depuis le point O (origine du repère employé) avec une vitesse initiale (c'est-à-dire à l'instant t = 0) de norme et avec un angle par rapport à l'horizontale .

Une fois le projectile lancé, il n'est plus soumis qu'à son poids, si l'on néglige encore la résistance de l'air. On trouve encore

soit

Supposons que est un vecteur du plan (x0z).
Alors, en intégrant

Mais avec les conditions initiales, cela donne

En intégrant encore, on trouve

Mais avec les conditions initiales, cela donne

Puisque l'on a constamment , la trajectoire est incluse dans le plan (xOz), son équation est une relation entre x et z, relation obtenue en éliminant t entre x et z :

donc

Cette trajectoire est une parabole du plan (xOz), d'axe parallèle à l'axe (Oz).

3. Oscillateur constitué d'un objet suspendu à un ressort

Considérons un objet assimilable à un point, de masse m, suspendu à un ressort de raideur k.
On rappelle que la raideur k est définie comme le rapport constant

(on observe qu'un ressort, s'il n'est pas trop étiré ou comprimé, s'allonge proportionnellement à la force de traction ou de compression qui lui est appliquée)

Si l'on considère l'objet suspendu au ressort, l'ensemble étant au repos, on peut écrire

, où est l'allongement du ressort dans ces conditions.

Définissons à présent la position de l'objet par une abscisse , positive plus bas que la position d'équilibre, négative plus haut. Autrement dit, à l'équilibre,

Si à l'instant t = 0, je tire le corps suspendu au ressort vers le bas d'une longueur , puis je le lâche sans vitesse initiale, à un instant et une position quelconque, en appelant x l'abscisse du corps, le principe fondamental de la mécanique donne :

En effet, le corps est soumis à deux forces : son poids dirigé vers le bas, donc vers les abscisses positives, et la tension du ressort, force dirigée vers le haut et de norme .

Comme , la variable est solution de l'équation différentielle

ou encore

Petit complément de mathématiques très simple :
L'équation différentielle

(on rappelle que , dérivée seconde de A par rapport au temps)

admet pour solutions

soit aussi

Vérification : immédiate ; on admettra qu'il n'existe pas d'autres solutions.

Pour résoudre l'équation du mouvement

rappelons-nous que

L'équation se simplifie donc de suite en

Sa solution générale est

, ou , avec (pulsation du mouvement, en radian/seconde,)

où sont deux constantes réelles, que nous pouvons déterminer à l'aide des conditions initiales :

A t = 0, on avait tiré le corps d'une longueur vers le bas, et lâché celui-ci sans vitesse initiale :

ce qui s'écrit

Ici (axe orienté vers le bas, et l'amplitude est habituellemennt un nombre positif ; on doit donc choisir

Donc le mouvement du point matériel est décrit par

Ce mouvement décrit par une fonction sinusoïdale est caractéristique des oscillateurs harmoniques.

[modifier ( modifier-516-section-6.cours)]Enoncé du principe fondamental de la dynamique pour un système physique

Nous appellerons système un ensemble d'objets matériels, que nous numéroterons par .

L'impulsion du système est par définition la somme vectorielle

La résultante des forces subies par le système est

si m forces s'appliquent concurremment sur l'ensemble des corps composant le système.

Le principe s'énonce, et se vérifie par l'expérience :

[modifier ( modifier-516-section-7.cours)]Conséquence : principe de l'opposition de l'action et de la réaction

Considérons un système de deux corps (numérotés 1 et 2), ne subissant aucune force appliquée de l'extérieur. Ces corps agissent l'un sur l'autre : le corps 1 appliquant sur le 2 la force , et le corps 2 appliquant sur 1 la force .
La résultante de ces deux forces est nulle, puisque le système ne subit aucune force extérieure :

Mais alors, chacune de ces deux forces est l'opposée de l'autre :

Lorsque deux corps interagissent l'un avec l'autre, les forces qu'ils exercent l'un sur l'autre sont opposées entre elles.

Ceci est parfois appelé trompeusement "principe de l'égalité de l'action et de la réaction".

Une application est le principe du moteur fusée : on applique une force sur une certaine masse de gaz chaque seconde en la poussant vers l'arrière ; ce gaz éjecté applique sur la fusée une force opposée, égale en intensité, dirigée vers l'avant, c'est la force propulsive de ce "moteur à réaction" qu'est la fusée.

[modifier ( modifier-516-section-8.cours)]Autre conséquence : principe de la conservation de l'impulsion d'un système isolé

On peut reprendre le même raisonnement tenu sur l'opposition de l'action et de la réaction : l'impulsion du système

L'impulsion d'un système isolé se conserve au cours du temps, quelles que soient les interactions entre constituants du système

reste constante tant qu'aucune force extérieure ne s'exerce sur les parties du système.

Application : choc de deux billes au billard.

Lorsque les billes roulent sur le billard, elles sont soumises à des forces qui se compensent pour donner (si l'on néglige le frottement qui finit par les freiner et les arrêter) une résultante nulle : leur poids et la résistance à la déformation de la surface du billard.
On peut donc dire que le système des deux billes, avec une certaine approximation, est isolé (non soumis à des forces extérieures).

Les joueurs de billard vérifient avec une grande précision cette conservation de l'impulsion et en usent pour leur savants calculs...

On peut écrire que, avant et après le choc entre deux billes, l'impulsion du système des deux billes s'est conservée :

(les "primes" caractérisent les billes après le choc)

[modifier ( modifier-516-section-10.cours)]Quelques exemples de moments d'inertie

Nous proposons sans démonstration, en les ajoutant néanmoins en complément à la suite du cours, quelques moments d'inertie.

[modifier ( modifier-516-section-14.cours)]Un théorème utile : le théorème de Huygens

Enoncé : Soit un corps matériel de centre d'inertie , un axe passant par , un axe parallèle à , séparé de d'une distance .
Alors les moments d'inertie du corps par rapport à et à sont reliés par

Preuve :

Pour chaque élément matériel placé en , soit sa projection orthogonale sur , et sa projection orthogonale sur  :

Mais on a toujours , vecteur de la translation transformant en .
De plus, le carré de la norme d'un vecteur est son carré scalaire. Donc

En vertu de nos connaissances sur les barycentres, on a

Or

par définition, et

Il reste bien l'égalité

[modifier ( modifier-516-section-16.cours)]Exemple de mouvement comportant une rotation autour d'un axe

Considérons un plan incliné d'un angle par rapport à l'horizontale, une masse glissant sans frottement le long de ce plan incliné, attachée par un fil inextensible, de masse négligeable, à une autre masse suspendue à une poulie assimilable à un cylindre de rayon et de masse , comme l'indique le schéma :

Faisons le bilan des forces appliquées sur le système (et donc aussi des moments de forces) :
Sur la masse , s'applique la tension du fil, son poids et la réaction du plan incliné,  ;
Sur la masse , s'applique la tension du fil, et son poids  ;
Sur la poulie, s'exercent deux forces appliquées tangentiellement à la distance de son axe, ce qui revient à un moment résultant appliqué (on oriente positivement le mouvement, sur le plan incliné, vers le bas de la pente) .
Chacun des trois mouvements est unidimensionnel (un seul degré de liberté) : on n'écrira pas d'équations vectorielles mais seulement relatives aux coordonnées, rectilignes ou angulaires.
Pour le corps de masse  :

Pour le corps de masse  :
(à une constante additive près, ce est le même que celui du corps )
Pour la poulie :
, où est un angle repérant le mouvement de rotation de la poulie).
On peut aussi traduire en termes de , puisque si le corps , par exemple, avance d'une distance , la poulie tourne de  ; on peut donc écrire

Ceci se simplifie en

Eliminons les variables  :

ce qui donne

soit

ou

ce qui s'intègre d'abord pour donner les vitesses, d'abord linéaire :

(on suppose qu'à , le système était au repos)

et aussi la vitesse angulaire caractérisant la rotation de la poulie :

En intégrant une seconde fois, on obtient les positions, linéaires et angulaires (on pose pour chacune des deux masses , et pour la poulie à l'instant ) :

[modifier ( modifier-516-section-18.cours)]Energie cinétique d'un corps ponctuel dans un référentiel

Par définition, on posera, pour un corps ponctuel de masse et de vitesse dans le référentiel considéré, que son énergie cinétique est

[modifier ( modifier-516-section-19.cours)]Travail d'une force

Par définition, en se plaçant toujours dans un référentiel donné, si une force s'applique sur un corps pendant que ce ce corps se déplace de dans le référentiel, on dit qu'elle a effectué un travail

(c'est un produit scalaire)

En termes de calcul différentiel, cela revient à définir la différentielle du travail par

, où , déplacement "infinitésimal" du corps subissant la force.

[modifier ( modifier-516-section-20.cours)]Théorème de l'énergie cinétique pour un corps ponctuel en translation

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit

Choisissons de définir comme déplacement durant le laps de temps infinitésimal , et aussi la variation de vitesse durant ce même laps de temps.
Ecrivons le produit scalaire

Nous admettrons ici que

On obtient donc

soit

Le théorème de l'énergie cinétique s'énonce ainsi :

Le travail des forces appliquées sur un corps (ou un système) est égal à la variation d'énergie cinétique du corps (ou du système).

[modifier ( modifier-516-section-21.cours)]Théorème de l'énergie cinétique pour un corps en rotation autour d'un axe

Considérons un corps ponctuel de masse en mouvement circulaire autour d'un axe :
son énergie cinétique, qui est toujours , s'écrit aussi

, où est sa vitesse angulaire (en rad/s) dans sa rotation autour de l'axe.

Cela donne encore

, où est le moment d'inertie (élémentaire) du corps ponctuel par rapport à l'axe.

Pour un corps solide tournant autour d'un axe, on n'aura qu'à faire la somme de tous ces termes, ce qui donne en tout

, où est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe.

Le travail d'une force ne concerne que la partie "utile" de la force, , tangente à la trajectoire circulaire au point d'application et perpendiculaire à l'axe.

Le travail infinitésimal de la force appliquée est (puisque la force déplace son point d'application de la distance infinitésimale )

Le théorème sous sa forme infinitésimale :

peut aussi s'écrire sous une forme macroscopique :

et vue l'expression du travail infinitésimal, élémentaire, ci-dessus, on voit que le travail s'exprime, à l'échelle macroscopique, par