CI12 - Intégrales comprenant des fonctions tangente - Corrigé

1) Exprimons la tangente en fonction d'un sinus et d'un cosinus, en profitant du fait que l'un est la dérivée de l'autre :

(on a posé , d'où (d'où l'intérêt à savoir avec précision les assez nombreuses formules de trigonométrie ; heureusement, il y a beaucoup de "trucs" mnémotechniques pour les savoir sans peine ni erreur)

Alors

soit

De même,

avec , d'où

On trouve de la même manière

2) Si l'on pose , on obtient , donc

et alors

Finalement,

De même, si l'on pose , on obtient , d'où

3) Utilisons les primitives trouvées en 2 :

Vérification avec Xcas-Giac : on obtient une réponse compliquée, mais si l'on tape ensuite

simplify(ans())

on obtient bien