Dernière version du 15.08.2008 21h12
a) Calculons
On a
La limite du terme exponentiel, pour , étant 0, on trouve
b) Intégrons par parties :
Le crochet vaut 0, car la limite de lorsque
est 0.
L'intégrale du second membre peut s'écrire
Ce qui donne bien, pour
c) On a bien
La propriété est donc vraie à l'ordre 0.
Supposons qu'elle soit vraie à l'ordre , c'est-à-dire que l'on ait bien
On sait, d'après b), que
ce qui n'est rien d'autre que
La preuve par récurrence est faite.
Dorénavant, on peut écrire directement, par exemple
ou
etc...
