Un banquet est préparé pour 10 convives.

I - Première possibilité :

Une table rectangulaire, où chaque place présente des caractéristiques différentes (vue sur le paysage, musique, fleurs, aération (pourquoi pas !), chauffage...). La table comprend 5 places de chaque côté, personne aux deux bouts.

1) Combien y a-t-il de façons de placer les 10 convives dans les 10 places qui les attendent à cette table ?
2) Si l'on veut placer M. X à côté de Mlle Y, combien y a-t-il de façons de placer tous les convives ?
3) Si l'on veut placer M. X à côté de Mlle Y, mais Mme Z ne doit pas être à côté de l'un d'eux, combien y a-t-il de façons de placer tout ce monde ?

II - Deuxième possibilité :

Une table ronde, dans une pièce assez symétrique aux baies vitrées disposées sur une symétrie assez parfaite pour que l'orientation ne joue qu'un rôle négligeable.
1) ...
2) ...
3) ... Mêmes questions que plus haut.

A vous de jouer !

Indication : le cours sur le dénombrement, sur Daskoo.

Hint :

Imaginer qu'on place d'abord le premier convive arrivé, puis une fois qu'il a pris place, le second, etc.

AtomeKid

Bon, vite fait comme ça,

1.1 10! = 3628800
1.2 Si l'on tien pas compte de la disposition de la table, je dirais que l'on peut compter ces deux convives comme une entité et donc dire que la réponse est 9! (=362880). Mais si l'on tient compte de cette contrainte, je n'ai pas d'idées qui me viennent à l'esprit. Peut être quelque chose comme ceci (4*2)*8!, ce qui revient à 8*8!, ce qui nous donne 322560. Ce qui semble être raisonnable
1.3 Pfiou ! Alors, là ! C'est un casse-tête. Je vais tenter de raisonner sur un exemple plus simple. Prenons juste 5 places. Soit 5! solutions (120) Notre a 4 possibilités pour s'asseoir et si l'on compte que une personne x ne peut s'assoeir à coté d'eux, ça nous donne 6 endroit où le couple peut encore s'assoir au total qu'importe la place de x (si elle est au milieu, c'est galère). Donc ça nous donne 6*2! possibilités(=12)(si je me trompe pas). Ca m'aide pas beaucoup encore =/ Si on prend une table de 4 personnes, on a plus que 2 possibilités. Ca n'aide toujours pas... (je réfléchis en direct ) Bon, je pense que je vais recenser tous les cas possibles pour cette table de 10, je ne vois pas d'autres solutions. 6*4 si elle se met à un coin. 4*5 si elle se met sur la place 2,4,7,9. 2*4 si elle se met au milieu d'un des deux cotés de la table. Donc (6*4+4*5+2*4 = 52) 52*7! = 262080 possibilités. Ce qui semble aussi correct car plus petit que le reste de mes solutions. (Il doit y avoir une généralisation à trouver mais laquelle ?)

2. Une autre fois peut-être ? Voyons d'abord si mes premières réponses sont fiables.

D'abord, avec la table rectangulaire à "places personnalisées", il y a a priori possibilités.
On peut faire un arbre, mais... de tête, c'est mieux !
En effet, le premier arrivé a 10 places au choix, le deuxième 9 places.
Pour chaque choix de place du 1er convive, le 2e a 9 possibilités, donc il y a possibilités de placer les 2 premiers, etc., d'où pour les 10 convives, cela fait possibilités de placer l'ensemble des invités et invitants.

Si l'on veut mettre M. X à côté de sa fiancée Mlle Y, on peut remarquer que, si M. X était en place "centrale, Mlle Y aurait 2 possibilités de se placer, à sa droite ou à sa gauche. Cela ferait possibilités pour eux deux, à multiplier par possibilités de placer les autres convives ; et si M. X était en bout de table, Mlle Y aurait une seule place possible à côté de lui, soit possibilités de placer les deux amoureux, à multiplier encore par pour les convives restants.
En tout, cela fait de placer tout ce beau monde avec les deux tourtereaux (Dieu les bénisse !).

Si l'on veut mettre M. X à côté de Mlle Y, et Mme Z à côté d'aucun d'eux (... ),
on doit encore détailler les cas, en partant d'une position "initiale" de M. X...

Bon, je fais un peu avancer le Schmilblick...

Passons à la deuxième partie, car ce qui manquerait ne demande pas de connaissances ou d'astuces supplémentaire, c'est simplement technique et de bon sens.

Dans le cas de la table ronde et de la salle sans direction privilégiée, vous êtes d'accord que si l'on déplace par exemple tous les convives d'une place vers la droite, personne ne verrait de différence.

On peut donc imaginer qu'on place n'importe où le premier convive arrivé.
Puis on place les 9 autres par rapport à lui, et seule la manière de placer ces 9 convives doit compter dans notre dénombrement... (On ne compte pas le premier convive, qui sert juste de repère )

AtomeKid

Pas d' amateur ?

"amateur" "aimer" !

Si l'on n'aime pas, on ne réalisera jamais rien ! C'est triste, une vie sans aimer, sans réalisation, sans se réaliser !

AtomeKid

Dans le cas d'une table ronde dans une salle ronde ou presque, tout étant symétriquement disposé, eh bien, on peut placer à n'importe quelle place le premier convive arrivé.
Ensuite, on place les autres par rapport à lui...
Cela n'a rien d'un casse-tête !

AtomeKid